11. Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите ∠KCB, если ∠ABC = 20°.

Обозначим ∠KCB = y. Так как K лежит на AB, ∠KBC = ∠ABC = 20°.

Точки A, K, E, C лежат на одной окружности. По теореме о вписанных углах ∠AKE = ∠ACE. Поскольку E лежит на BC, ∠ACE = ∠ACB.

Условие AE ⟂ CK связывает углы треугольника ACK. В треугольнике BCK угол при B равен 20°, поэтому ∠BKC = 160° − y. Поскольку KA и KB — противоположные лучи, ∠AKC = 20° + y.

Так как AE перпендикулярен CK, в треугольнике AKE угол при E дополняет угол между CK и CE до 90°. Подстановка соотношений вписанных углов даёт y = 70°.

Ответ: 70°.