11) Опираясь на теорию графов решите задачу. Из стальной проволоки нужно изготовить абажур заданных размеров (см. рисунок), затратив наименьшее возможное количество проволоки. Проволоку можно гнуть под любым углом и сваривать в точках соединения. Какое наименьшее количество кусков проволоки потребуется?

Решение:

Задача сводится к нахождению минимального числа рёбер, покрывающих все вершины графа (или минимального остовного леса). Абажур представляет собой усечённый конус, состоящий из двух кругов (оснований) и боковой поверхности. На рисунке мы видим:

• Верхний круг, состоящий из 4 точек, соединённых проволокой. Это 4 ребра.
• Нижний круг, состоящий из 4 точек, соединённых проволокой. Это ещё 4 ребра.
• 4 вертикальных ребра, соединяющих соответствующие точки верхнего и нижнего оснований.
• 2 диагональных ребра, соединяющих вершины верхнего и нижнего оснований, проходящие через центр.

Всего на рисунке изображено 12 ребер. Если мы хотим изготовить абажур из наименьшего числа кусков проволоки, мы должны рассматривать каждую линию на рисунке как ребро графа. Задача сводится к поиску Эйлерова пути или цикла. Однако, так как проволоку можно гнуть и сваривать, нам нужно соединить все точки (вершины) с минимальным количеством отрезков. Это задача о минимальном покрытии графа.

Рассмотрим вершины: 4 сверху и 4 снизу. Всего 8 вершин. Чтобы соединить 8 вершин, потребуется минимум \( n-1 \) ребро, то есть \( 8-1 = 7 \) отрезков проволоки, если бы мы могли соединять их произвольно. Однако, у нас есть заданная структура.

В данном случае, нам нужно соединить все вершины. Минимальное количество кусков проволоки будет равно количеству рёбер в минимальном остове графа. Если рассматривать каждую линию как ребро, то всего 12 рёбер. Чтобы соединить 8 вершин, потребуется минимум 7 ребер. Однако, нам нужно воспроизвести форму абажура.

Рассмотрим рёбра как куски проволоки:

• 4 ребра верхнего основания.
• 4 ребра нижнего основания.
• 4 вертикальных ребра.
• 2 диагональных ребра.

Если мы хотим минимизировать количество кусков, мы можем рассматривать каждую линию как отдельный кусок. Но задача говорит "под любым углом и сваривать". Это значит, мы можем объединять отрезки.

Минимальное количество кусков проволоки будет равно количеству вершин, из которых выходит нечётное число рёбер, делённое на 2, плюс 1 (если есть хотя бы одна вершина с нечётной степенью). Или, если мы хотим покрыть все ребра, то это задача о китайском почтальоне.

В данной задаче, чтобы получить каркас абажура, нам нужно соединить все 8 вершин. Минимальное количество отрезков, чтобы соединить 8 вершин, это 7. Но нам нужно получить именно такую структуру.

Если мы считаем, что каждая линия на рисунке — это потенциальный кусок проволоки, который можно изогнуть и сварить, то мы должны найти минимальное количество таких кусков, чтобы создать всю конструкцию.

Рассмотрим вершины. Каждая вершина на верхнем круге соединена с двумя другими вершинами на этом же круге, и с двумя вершинами на нижнем круге (по прямой и по диагонали). Итого 4 соединения. Каждая вершина на нижнем круге также имеет 4 соединения.

Минимальное количество кусков проволоки равно количеству ребер в графе, если мы можем использовать каждое ребро ровно один раз (Эйлеров путь/цикл). Однако, здесь мы можем гнуть и сваривать.

Нам нужно покрыть все ребра графа. По теореме о связности графа, для соединения \( n \) вершин требуется \( n-1 \) ребро. Но здесь у нас уже задана структура.

Если мы рассмотрим каждую линию как отдельный кусок, то их 12. Но мы можем гнуть и сваривать.

Ключевой момент: "Проволоку можно гнуть под любым углом и сваривать в точках соединения". Это означает, что мы можем создать любую замкнутую или незамкнутую линию из проволоки.

Минимальное количество кусков проволоки потребуется, чтобы создать скелет абажура. Этот скелет состоит из 8 вершин. Для соединения 8 вершин в связный граф требуется минимум \( 8 - 1 = 7 \) ребер. Однако, нам нужно сохранить форму усечённого конуса.

Рассмотрим пути, которые покрывают все ребра. В данном графе, все вершины имеют степень 4 (чётную). Следовательно, существует Эйлеров цикл, который проходит по каждому ребру ровно один раз. Это означает, что мы можем пройти по всем ребрам, не отрывая карандаша, и вернуться в исходную точку. Такой путь будет состоять из одного непрерывного куска проволоки, который мы затем изогнём в нужную форму.

Ответ: 1 кусок.