11. Полоску бумаги разрезали на 9 частей. После этого самую большую из полученных частей снова разрезали на 9 частей. Затем снова самую большую из полученных частей разрезали на 9 частей. Так поступили много раз: на каждом шаге самую большую часть разрезали на 9 частей. Могло ли в итоге получиться 997 частей?

При каждом разрезании одна часть заменяется девятью, поэтому общее число частей увеличивается на 8.

После первого разрезания частей 9. Если затем выполнить ещё n разрезаний, получится 9 + 8n частей.

Проверим, может ли это число равняться 997: 997 − 9 = 988, а 988 не делится на 8 без остатка (988 = 8 · 123 + 4).

Ответ: нет, 997 частей получиться не могло.