11. Построить график функции: y = 3x² + 4x³

Решение:

Для построения графика функции \( y = 3x^2 + 4x^3 \) найдём её производную, точки экстремума и критические точки.

1. Найдём производную функции:

\( y' = (3x^2 + 4x^3)' = 6x + 12x^2 \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 6x + 12x^2 = 0 \)

\( 6x(1 + 2x) = 0 \)

Отсюда \( x = 0 \) или \( 1 + 2x = 0 \) => \( x = -1/2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < -1/2 \) (например, \( x = -1 \)): \( y' = 6(-1) + 12(-1)^2 = -6 + 12 = 6 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -1/2 < x < 0 \) (например, \( x = -1/4 \)): \( y' = 6(-1/4) + 12(-1/4)^2 = -3/2 + 12/16 = -3/2 + 3/4 = -3/4 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( y' = 6(1) + 12(1)^2 = 6 + 12 = 18 > 0 \). Функция возрастает.

4. Определим значения функции в критических точках:

• При \( x = -1/2 \): \( y = 3(-1/2)^2 + 4(-1/2)^3 = 3(1/4) + 4(-1/8) = 3/4 - 1/2 = 1/4 \). Это локальный максимум.
• При \( x = 0 \): \( y = 3(0)^2 + 4(0)^3 = 0 \). Это локальный минимум.

5. Построим график, учитывая найденные точки и поведение функции.

Ответ: График функции построен с учётом локального максимума в точке \( (-1/2, 1/4) \) и локального минимума в точке \( (0, 0) \).