11. При каких целых значениях n выражение $\frac{2n^2-13n-45}{3n-27}$ является целым числом?

Question

Вопрос: $Фото задания: 11. При каких целых значениях n выражение $\frac{2n^2-13n-45}{3n-27}$ является целым числом?$ Фото задания

Accepted Answer

Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $n\ne9$. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{2n^2-13n-45}{3n-27}=\frac{(2n+5)(n-9)}{3(n-9)}=\frac{2n+5}{3}$, где $n\ne9$.

Значение целое, когда $2n+5$ делится на 3. По модулю 3 это условие равносильно $n\equiv2\pmod 3$. Число 9 этому условию не удовлетворяет.

Ответ: все целые $n$, для которых $n\equiv2\pmod 3$, то есть $n=3k+2$, где $k$ — целое число.

11. При каких целых значениях n выражение \(\frac{2n^2-13n-45}{3n-27}\) является целым числом?