11* Пусть а и b — натуральные числа, причем b > 1. Сравнить а и b, если верно неравенство \(\frac{a}{b} > \frac{a-1}{b-1}\). Так как \(\frac{a}{b} > \frac{a-1}{b-1}\) — верное неравенство, то разность \(\frac{a}{b} - \frac{a-1}{b-1}\) должно быть положительным числом. Знаменатель этой дроби \(b(b-1)\) > 0, так как b и \(b-1\) > 0 (при \(b > 1\)). Следовательно, числитель этого выражения должен быть > 0. А это означает, что b > а.

Решение:

Нам дано неравенство \(\frac{a}{b} > \frac{a-1}{b-1}\) для натуральных чисел \(a\) и \(b\), где \(b > 1\). Чтобы сравнить \(a\) и \(b\), преобразуем данное неравенство:

1. Приведём дроби к общему знаменателю \(b(b-1)\):
   \(\frac{a(b-1)}{b(b-1)} > \frac{(a-1)b}{b(b-1)}\)
   \(\frac{ab - a}{b(b-1)} > \frac{ab - b}{b(b-1)}\)
2. Так как \(b > 1\), то \(b-1 > 0\). Следовательно, знаменатель \(b(b-1)\) положителен. Мы можем умножить обе части неравенства на \(b(b-1)\) без изменения знака неравенства:
   \(ab - a > ab - b\)
3. Вычтем \(ab\) из обеих частей:
   \(-a > -b\)
4. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
   \(a < b\)

Таким образом, мы доказали, что \(a < b\).

Ответ: a < b.