11. Пусть целое число k при делении на 11 дает в остатке 6, а число m при делении на 11 дает в остатке 7. Найдите остаток от делении на 11 чисел: a) k+m; б) m-k; в) 2k-3m; г) к.т; д) k⋅m+5m+3k+15

Решение:

По условию:

• \( k \equiv 6 \pmod{11} \)
• \( m \equiv 7 \pmod{11} \)

Найдем остатки от деления на 11 для каждого выражения:

а) \( k+m \)

\[ k+m \equiv 6+7 \equiv 13 \equiv 2 \pmod{11} \]

б) \( m-k \)

\[ m-k \equiv 7-6 \equiv 1 \pmod{11} \]

в) \( 2k-3m \)

\[ 2k-3m \equiv 2(6) - 3(7) \equiv 12 - 21 \equiv -9 \equiv 2 \pmod{11} \]

г) \( k m \)

\[ k m \equiv 6 7 \equiv 42 \equiv 9 \pmod{11} \]

д) \( k m+5m+3k+15 \)

\[ k m+5m+3k+15 \equiv 9 + 5(7) + 3(6) + 15 \pmod{11} \]

\[ \equiv 9 + 35 + 18 + 15 \equiv 77 \equiv 0 \pmod{11} \]

Ответ:

• а) Остаток равен 2.
• б) Остаток равен 1.
• в) Остаток равен 2.
• г) Остаток равен 9.
• д) Остаток равен 0.