11. Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Обозначим:

• \( v_л \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч);
• \( v_т \) — скорость течения реки, \( v_т = 5 \) км/ч.

Скорость плота равна скорости течения реки: \( v_{плот} = v_т = 5 \) км/ч.

Расстояние между пристанями А и В равно 60 км.

Плот прошёл 30 км. Время, затраченное плотом на этот путь:

\[ t_{плот} = \frac{30 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 6 \text{ ч} \]

Лодка отправилась через 1 час после плота. Значит, лодка была в пути на 1 час меньше, чем плот, к моменту, когда плот прошёл 30 км.

Время движения лодки: \( t_л = t_{плот} - 1 \text{ ч} = 6 \text{ ч} - 1 \text{ ч} = 5 \text{ ч} \).

Лодка проделала путь от А до В и обратно в А. Общее расстояние, которое проплыла лодка, равно \( 60 \text{ км} \) (туда) + \( 60 \text{ км} \) (обратно) = \( 120 \) км.

Скорость лодки по течению: \( v_{л+т} = v_л + v_т = v_л + 5 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{л-т} = v_л - v_т = v_л - 5 \) км/ч.

Время движения лодки туда (от А до В): \( t_{туда} = \frac{60}{v_л + 5} \) ч.

Время движения лодки обратно (от В до А): \( t_{обратно} = \frac{60}{v_л - 5} \) ч.

Общее время движения лодки: \( t_л = t_{туда} + t_{обратно} \)

\[ 5 = \frac{60}{v_л + 5} + \frac{60}{v_л - 5} \]

Разделим обе части уравнения на 5:

\[ 1 = \frac{12}{v_л + 5} + \frac{12}{v_л - 5} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ 1 = \frac{12(v_л - 5) + 12(v_л + 5)}{(v_л + 5)(v_л - 5)} \]

\[ 1 = \frac{12v_л - 60 + 12v_л + 60}{v_л^2 - 25} \]

\[ 1 = \frac{24v_л}{v_л^2 - 25} \]

Умножим обе части на \( v_л^2 - 25 \):

\[ v_л^2 - 25 = 24v_л \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ v_л^2 - 24v_л - 25 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v_л \). Найдём дискриминант:

\[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \).

Найдём корни:

\[ v_{л1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]

\[ v_{л2} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_л = 25 \) км/ч.

Проверим условие, что \( v_л > v_т \) (скорость лодки больше скорости течения, чтобы она могла плыть против течения): \( 25 > 5 \), условие выполняется.

Ответ: 25 км/ч.