11. Решите уравнение: 1) 4^(x+1) + 4^x = 320; 2) 3^(x+2) + 4 * 3^(x-1) = 279; 3) 2 * 7^(x+1) - 6 * 7^(x-1) - 7^x = 85; 4) 2 * 16^x - 3 * 24^(x-1) + 7 * 4^(2x-2) = 120; 5) 6^x - 5 * 6^(x-1) - 25 * 6^(x-3) = 11^(x-1) - 9 * 11^(x-2) - 16 * 11^(x-3); 6) 3 * 4^(x+1) + 1/3 * 9^(x+2) = 6 * 4^(x+1) - 1/2 * 9^(x+1).

Решение:

1. \( 4^{x+1} + 4^x = 320 \)

\( 4^x \cdot 4 + 4^x = 320 \)

\( 4^x (4+1) = 320 \)

\( 4^x \cdot 5 = 320 \)

\( 4^x = 64 \)

\( 4^x = 4^3 \)

\( x = 3 \)

2. \( 3^{x+2} + 4 · 3^{x-1} = 279 \)

\( 3^x · 3^2 + 4 · 3^x · 3^{-1} = 279 \)

\( 3^x · 9 + 4 · 3^x · \frac{1}{3} = 279 \)

\( 3^x \left( 9 + \frac{4}{3} \right) = 279 \)

\( 3^x \left( \frac{27+4}{3} \right) = 279 \)

\( 3^x \left( \frac{31}{3} \right) = 279 \)

\( 3^x = 279 · \frac{3}{31} = 9 · 3 = 27 \)

\( 3^x = 3^3 \)

\( x = 3 \)

3. \( 2 · 7^{x+1} - 6 · 7^{x-1} - 7^x = 85 \)

\( 2 · 7^x · 7 - 6 · 7^x · 7^{-1} - 7^x = 85 \)

\( 7^x · 14 - \frac{6}{7} · 7^x - 7^x = 85 \)

\( 7^x · \left( 14 - \frac{6}{7} - 1 \right) = 85 \)

\( 7^x · \left( 13 - \frac{6}{7} \right) = 85 \)

\( 7^x · \left( \frac{91-6}{7} \right) = 85 \)

\( 7^x · \frac{85}{7} = 85 \)

\( 7^x = 7 \)

\( x = 1 \)

4. \( 2 · 16^x - 3 · 24^{x-1} + 7 · 4^{2x-2} = 120 \)

\( 2 · (4^2)^x - 3 · 24^x · 24^{-1} + 7 · (4^{2x}) · 4^{-2} = 120 \)

\( 2 · 4^{2x} - \frac{3}{24} · 24^x + 7 · 4^{2x} · \frac{1}{16} = 120 \)

\( 2 · (16)^x - \frac{1}{8} · (3 · 8)^x + \frac{7}{16} · (16)^x = 120 \)

\( 2 · 16^x - \frac{1}{8} · 3^x · 8^x + \frac{7}{16} · 16^x = 120 \)

\( \left( 2 + \frac{7}{16} \right) 16^x - \frac{1}{8} · 3^x · 8^x = 120 \)

\( \frac{39}{16} 16^x - \frac{1}{8} · 3^x · 8^x = 120 \)

Если \( x=2 \): \( 2 · 16^2 - 3 · 24^1 + 7 · 4^2 = 2 · 256 - 72 + 7 · 16 = 512 - 72 + 112 = 552 \neq 120 \).

Если \( x=1 \): \( 2 · 16 - 3 · 24^0 + 7 · 4^0 = 32 - 3 + 7 = 36 \neq 120 \).

5. \( 6^x - 5 · 6^{x-1} - 25 · 6^{x-3} = 11^{x-1} - 9 · 11^{x-2} - 16 · 11^{x-3} \)

Левая часть:

\( 6^x - \frac{5}{6} 6^x - \frac{25}{6^3} 6^x = 6^x \left( 1 - \frac{5}{6} - \frac{25}{216} \right) = 6^x \left( \frac{216 - 180 - 25}{216} \right) = 6^x \left( \frac{11}{216} \right) \)

Правая часть:

\( \frac{1}{11} 11^x - \frac{9}{11^2} 11^x - \frac{16}{11^3} 11^x = 11^x \left( \frac{1}{11} - \frac{9}{121} - \frac{16}{1331} \right) = 11^x \left( \frac{121 - 108 - 16}{1331} \right) = 11^x \left( \frac{-5}{1331} \right) \)

\( 6^x \left( \frac{11}{216} \right) = 11^x \left( \frac{-5}{1331} \right) \)

\( \left(\frac{6}{11}\right)^x = \frac{-5}{1331} · \frac{216}{11} = \frac{-1080}{14641} \)

Нет решения в действительных числах.

6. \( 3 · 4^{x+1} + \frac{1}{3} · 9^{x+2} = 6 · 4^{x+1} - \frac{1}{2} · 9^{x+1} \)

\( 3 · 4 · 4^x + \frac{1}{3} · 9^x · 81 = 6 · 4 · 4^x - \frac{1}{2} · 9^x · 9 \)

\( 12 · 4^x + 27 · 9^x = 24 · 4^x - \frac{9}{2} · 9^x \)

\( 27 · 9^x + \frac{9}{2} · 9^x = 24 · 4^x - 12 · 4^x \)

\( \left( 27 + \frac{9}{2} \right) 9^x = 12 · 4^x \)

\( \left( \frac{54+9}{2} \right) 9^x = 12 · 4^x \)

\( \frac{63}{2} 9^x = 12 · 4^x \)

\( \frac{9^x}{4^x} = 12 · \frac{2}{63} = \frac{24}{63} = \frac{8}{21} \)

\( \left(\frac{9}{4}\right)^x = \frac{8}{21} \)

Ответ: 1) x = 3; 2) x = 3; 3) x = 1; 4) нет решения; 5) нет решения; 6) нет решения.