11. Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Дано:

• Скорость течения реки: \(v_{теч} = 2 \text{ км/ч}\)
• Собственная скорость лодки: \(v_{лок} = 6 \text{ км/ч}\)
• Время на рыбалку: \(t_{лов} = 2 \text{ ч}\)
• Общее время путешествия: \(t_{общ} = 5 \text{ ч}\)

Найти:

• Расстояние от пристани: \(S\)

Решение:

1. Скорость лодки по течению:\[ v_{по\_теч} = v_{лок} + v_{теч} = 6 + 2 = 8 \text{ км/ч} \]
2. Скорость лодки против течения:\[ v_{против\_теч} = v_{лок} - v_{теч} = 6 - 2 = 4 \text{ км/ч} \]
3. Время движения по течению и против течения: Общее время в пути минус время на рыбалку.\[ t_{движ} = t_{общ} - t_{лов} = 5 - 2 = 3 \text{ ч} \]
4. Обозначим:
   • Время движения вверх по течению: \(t_{вверх}\)
   • Время движения вниз по течению: \(t_{вниз}\)
5. Система уравнений:
   • Время движения: \(t_{вверх} + t_{вниз} = 3\)
   • Расстояние (одинаковое вверх и вниз): \(S = v_{по\_теч} \times t_{вверх} = v_{против\_теч} \times t_{вниз}\)
   • Подставляем известные скорости: \(8 \times t_{вверх} = 4 \times t_{вниз}\)
6. Решаем систему:
   • Из первого уравнения выражаем \(t_{вниз}\): \(t_{вниз} = 3 - t_{вверх}\)
   • Подставляем во второе уравнение: \(8 \times t_{вверх} = 4 \times (3 - t_{вверх})\)
   • Раскрываем скобки: \(8 \times t_{вверх} = 12 - 4 \times t_{вверх}\)
   • Переносим \(t_{вверх}\) в одну сторону: \(8 \times t_{вверх} + 4 \times t_{вверх} = 12\)
   • Складываем: \(12 \times t_{вверх} = 12\)
   • Находим \(t_{вверх}\): \(t_{вверх} = \frac{12}{12} = 1 \text{ ч}\)
7. Находим расстояние: Используем время движения вверх по течению и скорость по течению.\[ S = v_{по\_теч} \times t_{вверх} = 8 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 8 \text{ км} \]

Проверка:

• Время движения вниз по течению: \(t_{вниз} = 3 - t_{вверх} = 3 - 1 = 2 \text{ ч}\)
• Расстояние вниз по течению: \(S = v_{против\_теч} \times t_{вниз} = 4 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 8 \text{ км}\)
• Расстояния совпали.

Ответ: 8 км.