11. С какой начальной скоростью надо бросить вниз мяч с высоты 2 м, чтобы он подпрыгнул на максимальную высоту 4 м? Удар считать абсолютно упругим.

Решение:
1. Запишем начальную высоту и высоту подскока:
h1 = 2 м
h2 = 4 м

2. Закон сохранения энергии при падении с начальной скоростью:
(E_0 + E_k = E_1)
\(mgh_1 + \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_2\), где (v_0) - начальная скорость, (g) - ускорение свободного падения.

3. В момент удара вся кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию подъема. При упругом ударе мяч поднимется на максимальную высоту (h_2), при этом его скорость будет равна 0.

4. Запишем закон сохранения энергии для этого случая:
\(mgh_1 + \frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_2\)
\(gh_1 + \frac{1}{2}v_0^2 = gh_2\) (сократили m).

5. Выразим начальную скорость (v_0):
\(\frac{1}{2}v_0^2 = gh_2 - gh_1\)
(\(\frac{1}{2}\)v_0^2 = g(h_2 - h_1))
(v_0^2 = 2g(h_2 - h_1))
(v_0 = \(\sqrt{2g(h_2 - h_1)}\))

6. Подставим значения, g = 9.8 м/с²:
(v_0 = \(\sqrt{2 * 9.8 * (4 - 2)}\)) = \(\sqrt{2 * 9.8 * 2}\) = \(\sqrt{39.2}\) ≈ 6.26 м/с

Ответ:
Мяч нужно бросить вниз с начальной скоростью примерно 6.26 м/с.