11. Середины диагоналей четырёхугольника и середина одной из его сторон лежат на одной прямой. Докажите, что две стороны этого четырёхугольника параллельны.

Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Пусть P — середина стороны AB, M — середина диагонали AC, а N — середина диагонали BD. По условию точки P, M и N лежат на одной прямой.

1. Выберем начало координат в точке A. Обозначим радиус-векторы точек B, C, D через \(\vec b\), \(\vec c\), \(\vec d\).
2. Так как P, M и N — середины соответствующих отрезков, то
   \[\vec{AP}=\frac{\vec b}{2},\qquad \vec{AM}=\frac{\vec c}{2},\qquad \vec{AN}=\frac{\vec b+\vec d}{2}.\]
3. Коллинеарность точек P, M и N означает, что существует число \(\lambda\), для которого
   \[\vec{AN}=\vec{AP}+\lambda\left(\vec{AM}-\vec{AP}\right).\]
4. Подставим найденные выражения:
   \[\frac{\vec b+\vec d}{2}=\frac{\vec b}{2}+\lambda\left(\frac{\vec c}{2}-\frac{\vec b}{2}\right).\]
5. Умножая равенство на 2 и сокращая \(\vec b\), получаем
   \[\vec d=\lambda(\vec c-\vec b).\]
6. Вектор \(\vec d\) направлен вдоль стороны AD, а вектор \(\vec c-\vec b\) — вдоль стороны BC. Эти векторы пропорциональны, следовательно, стороны AD и BC параллельны.

Ответ: \(AD\parallel BC\).