11. Шарик скользит по наклонному желобу, переходящему в вертикальную петлю радиусом 1 м. С какой высоты шарик должен начать движение, чтобы не оторваться в верхней точке петли?

Решение:

Для того чтобы шарик не оторвался в верхней точке петли, сила реакции опоры в этой точке должна быть больше или равна нулю. Минимальное условие - сила реакции опоры равна нулю, и тогда единственная сила, действующая на шарик, - это сила тяжести, которая обеспечивает центростремительное ускорение.

1. Условие в верхней точке петли:

В верхней точке на шарик действуют сила тяжести (\[mg\]) и сила реакции опоры (\[N\]). Центростремительное ускорение направлено вниз.

\[ N + mg = m rac{v^2}{R} \]

Минимальное условие, чтобы не оторваться: \[N = 0\]

\[ mg = m rac{v^2}{R} \]

\[ g = rac{v^2}{R} \]

\[ v^2 = gR \]

Отсюда, минимальная скорость в верхней точке: \[v = √{gR}\]

2. Закон сохранения энергии:

Теперь применим закон сохранения энергии от начальной точки (высота \[h\]) до верхней точки петли (высота \[2R\]).

\[ E_{начальная} = E_{верхняя} \]

\[ mgh = rac{1}{2}mv^2 + mg(2R) \]

Подставим \[v^2 = gR\]:

\[ mgh = rac{1}{2}m(gR) + mg(2R) \]

Разделим все на \[mg\]:

\[ h = rac{1}{2}R + 2R \]

\[ h = rac{5}{2}R \]

3. Подставляем значения:

Радиус петли \[R = 1\] м.

\[ h = rac{5}{2} · 1 ext{ м} = 2,5 ext{ м} \]

Ответ: 2,5 м