11*. Слово «МАТЕМАТИКА» написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Найдите вероятность того, что, составив все эти буквы случайным образом в ряд, мы снова получим слово «МАТЕМАТИКА».

Решение:

Слово «МАТЕМАТИКА» состоит из 10 букв. В нем есть повторяющиеся буквы: \( \text{М} \) — 2 раза, \( \text{А} \) — 3 раза, \( \text{Т} \) — 2 раза, \( \text{Е} \) — 1 раз, \( \text{И} \) — 1 раз, \( \text{К} \) — 1 раз.

1. Общее количество перестановок для слова с повторяющимися буквами рассчитывается по формуле: \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \), где \( n \) — общее число букв, а \( n_1, n_2, ..., n_k \) — количество повторений каждой буквы.
2. В нашем случае: \( n = 10 \), \( n_{\text{М}} = 2 \), \( n_{\text{А}} = 3 \), \( n_{\text{Т}} = 2 \).
3. Общее число уникальных перестановок: \( \frac{10!}{2! \times 3! \times 2!} = \frac{3628800}{2 \times 6 \times 2} = \frac{3628800}{24} = 151200 \).
4. Среди этих перестановок только одна будет соответствовать слову «МАТЕМАТИКА».
5. Вероятность того, что мы снова получим слово «МАТЕМАТИКА», равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

\( P(\text{получить «МАТЕМАТИКА»}) = \frac{1}{151200} \)

Ответ: \( \frac{1}{151200} \).