11. Тип 11 № 15 В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О. Окружность радиусом 4 вписана в ромб и касается стороны AD в точке Е. Найдите площадь ромба, если известно, что DE = 2.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Окружность, вписанная в ромб, касается сторон ромба в точках, являющихся серединами сторон, если ромб является квадратом. В общем случае, точка касания делит сторону на два отрезка. Радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне в точке касания.

В данном случае, радиус окружности равен 4. Окружность касается стороны AD в точке E. Так как ромб симметричен, точка E делит сторону AD. Диагонали ромба пересекаются в точке O. Радиус вписанной окружности равен высоте, опущенной из центра O на сторону. Этот радиус также равен половине высоты ромба.

Обозначим радиус вписанной окружности как r. По условию r = 4.

В ромбе ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. OD является половиной диагонали BD, а OE — радиусом, проведенным к стороне AD, и OE ⊥ AD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник △ODE. У нас есть OE = 4 (радиус) и DE = 2 (дано).

Площадь ромба можно вычислить по формуле: S = 2 * a * r, где 'a' - длина стороны ромба, 'r' - радиус вписанной окружности.

Найдем длину стороны AD. В △ODE, по теореме Пифагора: OD² + OE² = DE². Однако, это неверно, так как △ODE является прямоугольным треугольником с гипотенузой OD, если бы E была вершиной.

Правильный подход: В △ODE, OE — высота, проведенная к гипотенузе AD. OD — часть диагонали, DE — часть стороны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник △OED. OE = 4 (радиус), DE = 2. OD = sqrt(OE^2 + DE^2) = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) = 2 * sqrt(5). Это длина половины диагонали BD.

Теперь нам нужна длина другой диагонали, AC. Для этого найдем длину стороны AD. В △OED, OE является высотой, проведенной к стороне AD. Нет, OE является радиусом, перпендикулярным AD. OD — половина диагонали BD. DE = 2.

Пусть AD = a. Тогда AE = a - DE = a - 2.

В прямоугольном треугольнике △OEA: OA² + AE² = OE². Это также неверно, так как OE не является гипотенузой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABD. Высота, опущенная из O на AD, равна радиусу r = 4. Точка E находится на AD.

В прямоугольном треугольнике △OED: OD² = OE² + DE², если ∠OED = 90°. Но ∠OED = 90° потому что OE - радиус к точке касания. OD - гипотенуза. OD = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5. Это половина диагонали BD.

Пусть диагонали ромба равны d1 = AC и d2 = BD. Тогда OD = d2/2 = 2√5, следовательно, d2 = 4√5.

Сторона ромба a = AD. В △OED, OE = 4, DE = 2. OD = 2√5. AD = AE + ED. E - точка касания. OD является гипотенузой в треугольнике △OED, если ∠OED = 90°. OE = 4, DE = 2. OD = √(4^2 + 2^2) = √20 = 2√5. Это половина диагонали BD. Это значит, что ∠OED=90°.

Площадь ромба S = 1/2 * d1 * d2. Также площадь ромба S = a * h, где h - высота ромба. Высота ромба равна 2r = 2 * 4 = 8.

Теперь нам нужно найти сторону 'a'.

Рассмотрим △ABD. AB = AD = a. BD = d2 = 4√5. Высота, опущенная из A на BD, не связана с E.

В прямоугольном треугольнике △OED: OE = 4 (радиус), DE = 2. OD = 2√5. В △OAD, OA² + OD² = AD². Нет, это не верно.

Рассмотрим △OAD. OE ⊥ AD. OE = 4. DE = 2. AD = a. AE = a - 2.

В прямоугольном треугольнике △ODE, OD = 2√5.

В △OAD, OA² + (d2/2)² = a². OA² + (2√5)² = a². OA² + 20 = a².

Также, площадь △OAD = 1/2 * AD * OE = 1/2 * a * 4 = 2a.

Площадь △OAD = 1/2 * OD * OA = 1/2 * (2√5) * OA = √5 * OA.

Значит, 2a = √5 * OA. OA = 2a / √5.

Подставим OA в уравнение OA² + 20 = a²:

(2a / √5)² + 20 = a²

4a² / 5 + 20 = a²

20 = a² - 4a² / 5

20 = (5a² - 4a²) / 5

20 = a² / 5

a² = 100

a = 10.

Сторона ромба AD = 10.

Площадь ромба S = a * h. Высота ромба h = 2r = 2 * 4 = 8.

S = 10 * 8 = 80.

Проверка: Если a = 10, то OA = 2 * 10 / √5 = 20 / √5 = 4√5. AC = 2 * OA = 8√5.

d1 = 8√5, d2 = 4√5.

Площадь = 1/2 * d1 * d2 = 1/2 * (8√5) * (4√5) = 1/2 * 32 * 5 = 16 * 5 = 80.

Все сходится.

Ответ: 80