11. Тип 13 № 352247 Решите неравенство x² – 1 ≤ 0

Задание 11. Решение неравенства

Дано: неравенство \( x^2 – 1 \le 0 \).

Найти: решение неравенства.

Решение:

1. Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \[ (x - 1)(x + 1) \le 0 \]
2. Найдем корни уравнения \( (x - 1)(x + 1) = 0 \): \( x - 1 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \). Корни: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
3. Нанесем корни на числовую ось и определим знаки интервалов. Парабола \( y = x^2 - 1 \) ветвями вверх, поэтому:
   • слева от -1: \( x^2 - 1 > 0 \)
   • между -1 и 1: \( x^2 - 1 < 0 \)
   • справа от 1: \( x^2 - 1 > 0 \)
4. Нам нужно, чтобы \( x^2 - 1 \le 0 \), то есть значения, где выражение отрицательно или равно нулю. Это интервал \( [-1; 1] \).

Ответ: Правильный ответ — 2) [-1;1].