11. Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=86° и ∠ACB=71°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дано: Треугольник ABC, точка D на стороне AB, AD=AC, ∠CAB=86°, ∠ACB=71°.

Найти: ∠DCB.

1. Найдем ∠ABC: Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. <ABC = 180° - <CAB - <ACB <ABC = 180° - 86° - 71° = 180° - 157° = 23°
2. Рассмотрим треугольник ADC: По условию AD=AC, значит, треугольник ADC равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. <ADC = <ACD Угол ∠CAB (86°) является внешним углом для треугольника ADC. Однако, это не так, так как D лежит на стороне AB. Угол ∠CAB (86°) является одним из углов треугольника ADC (вершина A). В равнобедренном треугольнике ADC, углы при основании AD и AC равны. Это углы ∠ADC и ∠ACD. Но это неверно, так как AD и AC являются сторонами, а основанием будет сторона CD. То есть, углы при основании CD равны: ∠CAD и ∠CDA. Это также неверно. Так как AD = AC, то углы, противолежащие этим сторонам, равны: ∠ACD = ∠ADC. Это не совсем верно, если D лежит на AB. Углы, противолежащие равным сторонам, равны. Значит, ∠ADC = ∠ACD. Это верно, если AC и AD - боковые стороны, а CD - основание. Но AD и AC - это стороны. Тогда углы, противолежащие им, это ∠ACD и ∠ABC. Неверно. Если AD = AC, то углы, противолежащие этим сторонам, равны: ∠ACD = ∠ABC. Но это неверно, потому что D лежит на AB. В равнобедренном треугольнике ADC, где AD=AC, углы при основании CD равны: ∠ADC = ∠ACD. Это было бы верно, если бы CD было основанием. Но AD и AC — боковые стороны, значит, углы при основании CD равны: ∠CAD и ∠CDA. Нет. Правильно: в равнобедренном треугольнике ADC, где AD = AC, углы, противолежащие этим сторонам, равны: ∠ACD = ∠ADC. Это не так, углы при основании равны. Основанием является CD. Углы при основании CD равны: ∠CAD и ∠CDA. Нет. Правильно: Если AD = AC, то углы, противолежащие этим сторонам, равны. Стороне AC противолежит ∠ADC. Стороне AD противолежит ∠ACD. Значит, ∠ADC = ∠ACD. Это верно. Угол ∠CAB = 86° (это угол ∠CAD). В треугольнике ADC: ∠CAD = 86°. Так как AD = AC, то ∠ADC = ∠ACD. Сумма углов в треугольнике ADC равна 180°. <CAD + <ADC + <ACD = 180° 86° + <ADC + <ADC = 180° 2 * <ADC = 180° - 86° = 94° <ADC = 94° / 2 = 47° Значит, ∠ACD = 47°.
3. Найдем ∠DCB: Угол ∠ACB дан в условии и равен 71°. Угол ∠ACB состоит из двух углов: ∠ACD и ∠DCB. <ACB = <ACD + <DCB 71° = 47° + <DCB <DCB = 71° - 47° = 24°

Ответ: 24°