11. Три угла четырёхугольника по порядку равны 30°, 60° и 150°. Найдите отношение его диагоналей.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому четвёртый угол равен \(360°-(30°+60°+150°)=120°\).

Обозначим четырёхугольник \(ABCD\), где углы по порядку равны \(30°\), \(60°\), \(150°\), \(120°\). Проведём диагонали \(AC\) и \(BD\). По теореме синусов для четырёхугольника:

\(\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{\sin A\sin C+\sin B\sin D}{\sin A\sin C-\sin B\sin D}\) по модулю.

Подставим углы: \(\sin30°\sin150°=\frac14\), а \(\sin60°\sin120°=\frac34\). Следовательно, отношение диагоналей равно \(\left|\dfrac{\frac14+\frac34}{\frac14-\frac34}\right|=2\).

Ответ: диагонали относятся как 2:1.