11. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АС. Найдите радиус этой окружности, если косинус угла ВАС равен 0,6, а AB = 15.

Решение:

1. Определение: Так как центр описанной окружности лежит на стороне АС, то АС является диаметром этой окружности.
2. Использование теоремы косинусов: В треугольнике АВС имеем: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2  AB  AC   cos(BAC)$$.
3. Нахождение AC: Обозначим $$AC = x$$. Из условия косинус угла ВАС равен 0,6, а $$AB = 15$$. У нас нет BC, поэтому воспользуемся другим свойством.
4. Теорема синусов: В любой треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности: $$rac{BC}{ sin(BAC)} = AC$$.
5. Связь косинуса и синуса: Так как $$cos(BAC) = 0,6$$, то $$sin(BAC) =  sqrt(1 - cos^2(BAC)) =  sqrt(1 - 0,6^2) =  sqrt(1 - 0,36) =  sqrt(0,64) = 0,8$$.
6. Подстановка в теорему синусов: $$rac{BC}{0,8} = AC$$.
7. Использование теоремы косинусов для нахождения BC: $$BC^2 = 15^2 + AC^2 - 2  15  AC  0,6 = 225 + AC^2 - 18  AC$$.
8. Подстановка BC из теоремы синусов: $$(0,8  AC)^2 = 225 + AC^2 - 18  AC$$.
9. Решение уравнения: $$0,64  AC^2 = 225 + AC^2 - 18  AC$$. $$0,36  AC^2 - 18  AC + 225 = 0$$.
10. Упрощение: Умножим на 100: $$36  AC^2 - 1800  AC + 22500 = 0$$. Разделим на 36: $$AC^2 - 50  AC + 625 = 0$$.
11. Решение квадратного уравнения: $$(AC - 25)^2 = 0$$. Отсюда $$AC = 25$$.
12. Нахождение радиуса: AC является диаметром, поэтому радиус $$R = rac{AC}{2} = rac{25}{2} = 12,5$$.

Ответ: 12,5