11. Учитель предложил четырём ученикам несколько задач. Каждую задачу решили только трое. Известно, что Оля решила больше всех — семь задач, а Гоша решил меньше всех — четыре задачи. Сколько всего задач предложил учитель?

Краткая запись:

• Учеников: 4
• Решили задачу: 3
• Оля: 7 задач
• Гоша: 4 задачи

Решение:

1. Оля решила больше всех — 7 задач.
2. Гоша решил меньше всех — 4 задачи.
3. Поскольку каждую задачу решили только трое учеников, а всего учеников четверо, то получается, что есть задачи, которые решил каждый ученик, кроме одного.
4. Если бы каждая задача была решена ровно тремя учениками, то общее число решенных задач можно было бы найти, сложив задачи, решенные каждым учеником, и разделив на 3.
5. Однако, поскольку Оля решила 7 задач, а Гоша 4, то эти два ученика могли решить не пересекающиеся наборы задач, кроме тех, которые решил каждый ученик.
6. Пусть N — общее количество задач.
7. Каждую задачу решили 3 ученика.
8. Общее количество «решений» = 3 * N.
9. Сумма решенных задач учениками = 7 (Оля) + x + y + 4 (Гоша), где x и y — количество задач, решенных двумя другими учениками.
10. По условию, Оля решила больше всех (7 задач), а Гоша меньше всех (4 задачи).
11. Из этого следует, что количество задач, решенных двумя другими учениками, находится в диапазоне от 4 до 7 (включительно).
12. Рассмотрим случай, когда количество решенных задач двумя оставшимися учениками равно 5 и 6.
13. Если бы у нас было 5 задач, то Оля решила 7, Гоша 4. Это невозможно, так как если бы каждая задача была решена тремя учениками, то суммарно было бы 5 * 3 = 15 решенных задач. А если бы Оля решила 7, а Гоша 4, то остальные два ученика решили бы по 5 и 6 задач (7+5+6+4 = 22).
14. Если количество задач равно 7, то Оля решила все 7. Гоша решил 4. Тогда остальные два ученика решили по 5 и 6 задач.
15. Таким образом, количество задач, решенных учениками: 7, 6, 5, 4.
16. Общее число «решений» = 7 + 6 + 5 + 4 = 22.
17. Так как каждую задачу решили 3 ученика, то общее количество решенных задач N = 22 / 3. Это не целое число, что означает, что такой расклад невозможен.
18. Пересмотрим условие: «Каждую задачу решили только трое».
19. Пусть общее количество задач равно X.
20. Каждая задача решена 3 учениками.
21. Общее число решений = 3X.
22. Ученики решили: Оля - 7, Гоша - 4, Ученик 2 - ?, Ученик 3 - ?.
23. Из условия, что Оля решила больше всех, а Гоша меньше всех, количество задач, решенных Учеником 2 и Учеником 3, находится между 4 и 7.
24. Пусть Ученик 2 решил 6 задач, а Ученик 3 решил 5 задач.
25. Тогда общее число решений = 7 + 6 + 5 + 4 = 22.
26. 3X = 22. X = 22/3. Опять дробь.
27. Условие «Каждую задачу решили только трое» означает, что ни одна задача не была решена всеми четырьмя, и ни одна задача не была решена менее чем тремя.
28. Пусть N — количество задач.
29. Общее количество решенных задач (суммарно по всем ученикам) = N * 3.
30. Известно, что Оля решила 7 задач, а Гоша — 4.
31. Пусть два других ученика решили x и y задач.
32. Тогда 7 + x + y + 4 = 3N.
33. 11 + x + y = 3N.
34. По условию, 4 <= x <= 7 и 4 <= y <= 7.
35. Также, x и y не могут быть равны 7 (иначе Оля не была бы единственной, кто решил больше всех).
36. Аналогично, x и y не могут быть равны 4 (иначе Гоша не был бы единственным, кто решил меньше всех).
37. Значит, 4 < x < 7 и 4 < y < 7.
38. Таким образом, x и y могут быть равны 5 или 6.
39. Возможные комбинации для (x, y) (с учетом порядка неважна): (5, 5), (5, 6), (6, 6).
40. Случай 1: x = 5, y = 5.
41. 11 + 5 + 5 = 3N => 21 = 3N => N = 7.
42. Проверим: Оля - 7, Гоша - 4, Ученик 2 - 5, Ученик 3 - 5.
43. Все задачи решены тремя учениками.
44. Это возможно, если, например, 3 задачи решены Олей и Учеником 2 и Учеником 3.
45. 3 задачи решены Олей и двумя другими учениками.
46. 1 задача решена Гошей и двумя другими учениками.
47. Эта комбинация работает.
48. Случай 2: x = 5, y = 6.
49. 11 + 5 + 6 = 3N => 22 = 3N => N = 22/3 (не целое).
50. Случай 3: x = 6, y = 6.
51. 11 + 6 + 6 = 3N => 23 = 3N => N = 23/3 (не целое).
52. Единственный случай, когда получается целое число задач, это когда два других ученика решили по 5 задач.

Ответ: 7