11. В классе учится 25 человек, из них 18 человек посещают математический кружок, а 12 — кружок по астрономии. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

Решение:

Обозначим:

• \( M \) — множество учеников, посещающих математический кружок.
• \( A \) — множество учеников, посещающих астрономический кружок.
• \( |M| = 18 \)
• \( |A| = 12 \)
• \( |M \cup A| \leq 25 \) (общее число учеников в классе)

Воспользуемся формулой включения-исключения: \( |M \cup A| = |M| + |A| - |M \cap A| \).

Из этого следует, что \( |M \cap A| = |M| + |A| - |M \cup A| \).

Максимальное число учеников, посещающих оба кружка, происходит, когда \( |M \cup A| = 25 \) (все ученики посещают хотя бы один кружок).

\( |M \cap A| = 18 + 12 - 25 = 30 - 25 = 5 \).

Минимальное число учеников, посещающих оба кружка, происходит, когда \( |M \cup A| \) максимально близко к \( |M| + |A| \) (то есть, когда пересечение минимально). Однако, \( |M| + |A| = 30 \), что больше общего числа учеников в классе (25). Это означает, что пересечение обязательно есть.

Минимальное пересечение: \( |M \cap A| \geq |M| + |A| - 25 = 18 + 12 - 25 = 5 \).

Следовательно, число учеников, посещающих оба кружка, находится в диапазоне от 5 до 12 (так как \( |M \cap A| \leq |A| \)).

Рассмотрим утверждения:

1. Каждый учащийся этого класса посещает оба кружка.
• Это неверно, так как \( |M \cap A| \leq 5 \), а всего учеников 25.
2. Найдётся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.
• Это верно, так как \( |M \cap A| \geq 5 \).
3. Каждый, кто посещает математический кружок, обязательно посещает и кружок по астрономии.
• Это неверно. Если бы это было так, то \( |M \cap A| = |M| = 18 \). Но \( |M \cap A| \leq 12 \).
4. Менее 13 человек посещают и математический кружок, и кружок по астрономии.
• Это верно, так как \( |M \cap A| \leq 5 \), а 5 < 13.

Ответ: 24