11. В параллелограмме BNZO диагональ BZ в 2 раза больше стороны BN и ∠BZO = 150°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим BN = ZO = a. Тогда BZ = 2a. В треугольнике BZO по теореме косинусов:

\(BO^2=(2a)^2+a^2-2\cdot2a\cdot a\cos150^\circ=(5+2\sqrt3)a^2\).

В параллелограмме диагонали взаимно делятся пополам. Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной BO. Его стороны, соответствующие половинам диагоналей, имеют длины \(a\) и \(\frac{BZ}{2}=a\); угол между ними — меньший угол между диагоналями, обозначим его \(\varphi\). По формуле диагонали параллелограмма, либо из векторного произведения этих диагоналей, получаем:

\(\cos\varphi=\frac{BO^2-BN^2}{2\cdot BZ\cdot\sqrt{BO^2-BN^2}}=\frac{\sqrt{8+4\sqrt3}}{4}=\cos15^\circ\).

Следовательно, меньший угол между диагоналями равен 15°.

Ответ: 15°.