11. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Если один острый угол равен 45°, то второй острый угол также равен \( 90° - 45° = 45° \).

Следовательно, треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником. Это значит, что катеты, прилежащие к прямому углу, равны между собой. Обозначим длину катетов как \( a \).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

\( a^2 + a^2 = 70^2 \)

\( 2a^2 = 4900 \)

\( a^2 = \frac{4900}{2} \)

\( a^2 = 2450 \)

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 \]

В нашем случае:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} a^2 \]

Подставим значение \( a^2 \) в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 2450 \]

\[ S = 1225 \]

Ответ: Площадь треугольника равна 1225.