№ 11. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC, AB = CD = 5, AD = 10. Диагональ BD перпендикулярна AB. Найти отмеченные углы: ∠A, ∠CBD, ∠C и ∠BDC.

Считаем, что AD и BC — параллельные основания трапеции, а отметки на боковых сторонах показывают, что AB = CD.

1. В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза AD = 10, а катет AB = 5. Поэтому \(\cos \angle A = \frac{AB}{AD} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\), откуда \(\angle A = 60^\circ\).
2. У равнобедренной трапеции углы при основании AD равны, значит полный угол при D тоже равен \(60^\circ\). В треугольнике ABD \(\angle ADB = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Поэтому \(\angle BDC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\).
3. Соседние углы при боковой стороне CD supplementary: \(\angle C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). Угол при B трапеции также равен \(120^\circ\), поэтому \(\angle CBD = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ\).

Ответ: ∠A = 60°, ∠CBD = 30°, ∠C = 120°, ∠BDC = 30°.