11. В равностороннем треугольнике АВС точки М, N, K – середины сторон AB, BC, CA соответственно. Докажите, что BMKN – ромб.

Решение:

В равностороннем треугольнике ABC, точки M, N, K являются серединами сторон AB, BC, CA соответственно. Нам нужно доказать, что BMKN — ромб.

Доказательство:

1. Свойство средней линии треугольника:
   Так как M — середина AB, а N — середина BC, то MN является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, MN параллельна AC и MN = 1/2 * AC.
2. Аналогично:
   NK — средняя линия треугольника ABC (соединяет середины BC и CA). Значит, NK параллельна AB и NK = 1/2 * AB.
3. MK — средняя линия:
   MK — средняя линия треугольника ABC (соединяет середины AB и CA). Значит, MK параллельна BC и MK = 1/2 * BC.
4. Сравнение сторон:
   Поскольку треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = CA.
5. Равенство сторон четырехугольника:
   Из свойств средних линий и равенства сторон равностороннего треугольника следует:
   - MK || BC, значит MK || BN.
   - NK || AB, значит NK || BM.
   Таким образом, BMKN — параллелограмм (по признаку параллелограмма: противоположные стороны параллельны).
   Теперь докажем равенство сторон:
   - MN = 1/2 * AC, а AC = AB = BC = CA.
   - MK = 1/2 * BC.
   - NK = 1/2 * AB.
   - BM = 1/2 * AB.
   Из этого следует, что MN = MK = NK = BM = 1/2 * AB = 1/2 * BC = 1/2 * CA.
6. Вывод:
   Так как все стороны параллелограмма BMKN равны, то BMKN — ромб.

Доказано.