11. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда равен 1680 мл. Найдите объём налитой жидкости. Ответ дайте в миллилитрах.

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота.

Когда уровень жидкости достигает половины высоты конуса, объём жидкости составляет \( (1/2)^3 = 1/8 \) от общего объёма конуса.

Это потому, что малый конус (с жидкостью) подобен большому конусу (всему сосуду). Коэффициент подобия по линейным размерам равен \( k = 1/2 \).

Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: \( \frac{V_{жидкости}}{V_{сосуда}} = k^3 \).

В нашем случае \( k = \frac{1}{2} \), поэтому \( V_{жидкости} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot V_{сосуда} = \frac{1}{8} \cdot V_{сосуда} \).

Дан объём всего сосуда: \( V_{сосуда} = 1680 \) мл.

Рассчитаем объём налитой жидкости:

\[ V_{жидкости} = \frac{1}{8} \cdot 1680 \text{ мл} \]\[ V_{жидкости} = 210 \text{ мл} \]

На чертеже видно, что жидкость занимает примерно половину высоты.

Также на чертеже есть пометка "половина конуса", что соответствует условию задачи.

Ответ: 210 мл.