11. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы, AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁.

Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы, точки D и D₁ лежат на сторонах BC и B₁C₁ соответственно.

1. В треугольниках ABD и A₁B₁D₁ равны три стороны: AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и AD = A₁D₁. Следовательно, △ABD = △A₁B₁D₁ по трём сторонам.

2. Из равенства треугольников получаем ∠BAD = ∠B₁A₁D₁ и ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.

3. Поскольку AD и A₁D₁ — биссектрисы, ∠A = 2∠BAD = 2∠B₁A₁D₁ = ∠A₁. Также ∠B = ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ = ∠B₁, так как D и D₁ лежат на соответствующих сторонах.

4. Сторона AB равна A₁B₁ и заключена между равными углами A, B и A₁, B₁. Поэтому △ABC = △A₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим углам.