11. В ящике стола лежит 7 синих и 8 чёрных ручек. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

Решение:

Всего в ящике \( 7 + 8 = 15 \) ручек.

1. Утверждение 1: Среди любых 7 ручек обязательно будет хотя бы одна чёрная.

Это утверждение верно. Если мы вынем 7 ручек, то максимум, что может случиться, это если все 7 будут синими (хотя их всего 7, так что это максимально возможное число синих ручек). Но если бы мы брали 8 ручек, то все 8 могли бы быть синими. Но нас интересует 7 ручек. Если мы берем 7 ручек, то теоретически могут все 7 быть синими. Так что, если мы берем 7 синих ручек, то может так случиться, что среди них не будет ни одной чёрной.

Однако, если мы вынем 8 ручек, то гарантированно будет хотя бы одна черная.

Утверждение 1: Среди любых 7 ручек обязательно будет хотя бы одна чёрная.

Это утверждение неверно. Можно вынуть 7 синих ручек.

Утверждение 2: Среди любых 9 ручек обязательно найдётся 3 чёрных ручки.

Это утверждение верно. Если мы вынем 9 ручек, то максимальное количество синих ручек, которое мы можем вынуть, равно 7. Следовательно, оставшиеся \( 9 - 7 = 2 \) ручки должны быть чёрными. А если мы вынем 9 ручек, то среди них обязательно будут 3 черные, если мы вынем 8 ручек, то 1 черная, и если мы вынем 7 ручек, то 0 черных.

Давай еще раз. Всего 7 синих и 8 черных.

1. Среди любых 7 ручек обязательно будет хотя бы одна чёрная.

Можно вынуть 7 синих ручек. Тогда чёрной не будет. Утверждение неверно.

2. Среди любых 9 ручек обязательно найдётся 3 чёрных ручки.

Максимум синих ручек — 7. Если мы вынем 9 ручек, то как минимум \( 9 - 7 = 2 \) ручки будут чёрными. Это значит, что утверждение «найдётся 3 чёрных ручки» неверно. Максимум 2 чёрных.

3. Если достать 5 ручек, то все они могут оказаться одного цвета.

Это утверждение верно. Можно вынуть 5 синих ручек, так как синих всего 7. Также можно вынуть 5 чёрных ручек, так как чёрных всего 8.

4. Среди любых 10 ручек обязательно найдётся 2 синих ручки.

Максимум чёрных ручек — 8. Если мы вынем 10 ручек, то как минимум \( 10 - 8 = 2 \) ручки будут синими. Это утверждение верно.

Итого, верные утверждения: 3 и 4.

1. Утверждение 1: Неверно. Можно вынуть 7 синих ручек.
2. Утверждение 2: Неверно. Максимум 2 чёрные ручки.
3. Утверждение 3: Верно. Можно вынуть 5 синих или 5 чёрных.
4. Утверждение 4: Верно. Минимум 2 синие ручки.

Ответ: 3, 4.