11. Вычислите градусные меры неизвестных углов параллелограмма (рис. 25).

1) В параллелограмме соседние углы в сумме дают 180°, противоположные углы равны. На рисунке диагональная линия из вершины N перпендикулярна стороне PK, а угол между этой линией и верхней стороной NP равен 15°.

В прямоугольном треугольнике NPF угол при F равен 90°, поэтому угол при P равен 180° − 90° − 15° = 75°. Следовательно, угол параллелограмма при P равен 75°, при M — 75°, а углы при N и K равны 105°.

Ответ: ∠P = ∠M = 75°, ∠N = ∠K = 105°.

2) Отметки показывают, что AB = AF = FD. Так как AB и CD — параллельные стороны, а BF перпендикулярен AD, треугольники ABF и BFD прямоугольные. В каждом из них катеты равны: AB = AF и BF — общая сторона, поэтому острые углы треугольника ABF равны 45°. Угол между BF и FD также равен 45°.

Угол при A параллелограмма равен 45°, поэтому противоположный угол при C равен 45°, а соседние углы при B и D равны 135°. Внутренняя диагональ BF делит угол B пополам на отмеченном рисунке, следовательно, обозначенный угол при B равен 45°.

Ответ: отмеченный угол равен 45°.

3) Угол между диагональю PN и нижней стороной FN равен 40°. Отрезок PT перпендикулярен PN, поэтому угол между PT и FN равен 90° − 40° = 50°. Поскольку PT лежит на стороне PF, угол параллелограмма при F равен 50°. Соседний угол при P равен 180° − 50° = 130°, противоположный ему угол при N равен 130°, а угол при K равен 50°.

Ответ: ∠F = ∠K = 50°, ∠P = ∠N = 130°.