11. Вычислите интеграл \( \int_{-1}^{3} 3x^2dx \)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{a}^{b} f(x)dx \) сначала найдём первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) \), а затем вычислим разность \( F(b) - F(a) \).

Первообразная для функции \( 3x^2 \) равна \( x^3 \) (так как \( (x^3)' = 3x^2 \)).

Теперь вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

1. Верхний предел: \( F(3) = 3^3 = 27 \)
2. Нижний предел: \( F(-1) = (-1)^3 = -1 \)
3. Вычислим разность: \( \int_{-1}^{3} 3x^2dx = F(3) - F(-1) = 27 - (-1) = 27 + 1 = 28 \)

Ответ: 28.