Ответ:

Перевод задания: Мы пригласили Джейн на обед, чтобы поднять ей настроение, потому что у неё тяжёлый период / она переживает трудное время на работе.

Go through a rough time — переживать трудный период.

We took Jane out to lunch to cheer her up, because she’s been going through a rough time at work.

Мы пригласили Джейн на обед, чтобы поднять ей настроение, потому что она переживает трудное время на работе.