11. За победу футбольная команда получает три очка, за ничью — одно очко и за поражение — ноль очков. В первом туре чемпионата по футболу было сыграно 8 матчей, в которых команды в сумме набрали 21 очко. Сколько в этом туре было сыграно матчей вничью? Запиши решение и ответ.

Question

Вопрос:

Фото задания

11. За победу футбольная команда получает три очка, за ничью — одно очко и за поражение — ноль очков. В первом туре чемпионата по футболу было сыграно 8 матчей, в которых команды в сумме набрали 21 очко. Сколько в этом туре было сыграно матчей вничью? Запиши решение и ответ.

Accepted Answer

Задание 11. Футбольные очки

Дано:

Всего матчей: 8.
Очки за победу: 3.
Очки за ничью: 1.
Очки за поражение: 0.
Общая сумма очков: 21.

Найти: количество ничьих.

Решение:

Пусть x — количество побед, y — количество ничьих, z — количество поражений.

Мы знаем, что всего сыграно 8 матчей, значит:

\[ x + y + z = 8 \]

Также мы знаем, что команды набрали в сумме 21 очко. Количество очков рассчитывается так:

\[ 3x + 1y + 0z = 21 \]

Отсюда получаем:

\[ 3x + y = 21 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ x + y + z = 8 \]
\[ 3x + y = 21 \]

Из второго уравнения выразим y:

\[ y = 21 - 3x \]

Подставим это выражение для y в первое уравнение:

\[ x + (21 - 3x) + z = 8 \]

\[ x + 21 - 3x + z = 8 \]

\[ -2x + 21 + z = 8 \]

Теперь выразим z:

\[ z = 8 - 21 + 2x \]

\[ z = 2x - 13 \]

Так как количество матчей (x, y, z) не может быть отрицательным, а также не может быть дробным, мы можем попробовать подобрать значения. Давайте проверим возможные значения x (количество побед), учитывая, что 3x должно быть не больше 21 (то есть x может быть от 0 до 7).

Если x = 7 (максимально возможное количество побед, так как 3 * 7 = 21), то:

y = 21 - 3 * 7 = 21 - 21 = 0 (ничьих нет).

z = 8 - x - y = 8 - 7 - 0 = 1 (одно поражение).

В этом случае команды набрали 21 очко (7 побед * 3 очка = 21 очко), сыграно 8 матчей (7 побед + 0 ничьих + 1 поражение = 8 матчей). Этот вариант подходит.

Давайте проверим другое возможное значение x. Например, если x = 6:

y = 21 - 3 * 6 = 21 - 18 = 3 (три ничьи).

z = 8 - x - y = 8 - 6 - 3 = -1. Количество поражений не может быть отрицательным. Значит, x = 6 не подходит.

Попробуем x = 5:

y = 21 - 3 * 5 = 21 - 15 = 6 (шесть ничьих).

z = 8 - x - y = 8 - 5 - 6 = -3. Не подходит.

Из этого следует, что единственный возможный вариант — это 7 побед, 0 ничьих и 1 поражение.

Однако, в условии задачи говорится: «Сколько в этом туре было сыграно матчей вничью?». Если мы исходим из того, что команды набрали 21 очко, и сыграли 8 матчей, то количество ничьих может быть разным. Давайте попробуем с другой стороны.

Если было y ничьих, то это принесло y очков. Оставшиеся очки (21 - y) были набраны за победы. Поскольку за победу дают 3 очка, то количество побед должно быть равно (21 - y) / 3. Количество поражений будет 8 - y - (21 - y) / 3.

Поскольку количество побед должно быть целым числом, (21 - y) должно делиться на 3. Это значит, что y может быть 0, 3, 6, 9, ...

Также, количество матчей (побед + ничьих + поражений) должно быть равно 8.

Вариант 1: y = 0 (ничьих нет)

Количество побед = (21 - 0) / 3 = 7.
Количество поражений = 8 - 0 - 7 = 1.
Проверка: 7 побед * 3 очка + 0 ничьих * 1 очко + 1 поражение * 0 очков = 21 очко. Всего матчей: 7 + 0 + 1 = 8. Этот вариант подходит.

Вариант 2: y = 3

Количество побед = (21 - 3) / 3 = 18 / 3 = 6.
Количество поражений = 8 - 3 - 6 = -1. Не подходит, так как количество поражений не может быть отрицательным.

Вариант 3: y = 6

Количество побед = (21 - 6) / 3 = 15 / 3 = 5.
Количество поражений = 8 - 6 - 5 = -3. Не подходит.

Таким образом, единственным подходящим вариантом является тот, где было 0 ничьих.

Ответ: 0