110. На рисунке 105 точки P, M, N и K — середины сторон четырёхугольника ABCD. Найдите: а) периметр четырёхугольника PMNK, если AC = 12 см, BD = 10 см; б) угол между прямыми AC и BD, если AC = BD и ∠KPN = 32°.

По теореме Вариньона четырёхугольник, соединяющий середины сторон любого четырёхугольника, является параллелограммом. В данном случае его стороны параллельны диагоналям ABCD и равны половинам этих диагоналей.

а) Получаем: PM = NK = AC/2 = 6 см; MN = KP = BD/2 = 5 см.

Периметр: P = 2(6 + 5) = 22 см.

б) Так как AC = BD, то PM = MN = NK = KP, поэтому PMNK — ромб. Диагональ PK параллельна BD, а PN параллельна AC. Угол ∠KPN равен углу между прямыми BD и AC. Следовательно, угол между AC и BD равен 32°.

Ответ: а) 22 см; б) 32°.