110. На рисунке точки P, M, N и K — середины сторон четырёхугольника ABCD. Найдите: а) периметр четырёхугольника PMNK, если AC = 12 см, BD = 10 см; б) угол между прямыми AC и BD, если AC = BD и ∠KPN = 32°.

а) В треугольнике ABC отрезок PM соединяет середины сторон AB и BC, поэтому PM = AC / 2 = 6 см. Аналогично, в треугольниках BCD, CDA и DAB: MN = BD / 2 = 5 см, NK = AC / 2 = 6 см, KP = BD / 2 = 5 см.

Тогда периметр PMNK равен 6 + 5 + 6 + 5 = 22 см.

б) По теореме о средней линии треугольника PK ∥ BD, а PM ∥ AC. Четырёхугольник PMNK — параллелограмм; при AC = BD его соседние стороны PM и PK равны, значит, это ромб. Диагональ PN ромба делит угол при P пополам, поэтому ∠KPM = 2 · ∠KPN = 64°. Так как стороны PK и PM параллельны соответственно прямым BD и AC, угол между прямыми AC и BD равен 64°.

Ответ: а) 22 см; б) 64°.