110. Найдите область определения функции: а) \(y=\dfrac{1}{1-\sin x}\); б) \(y=\sqrt{\sin^2\dfrac{x}{2}-\cos^2\dfrac{x}{2}}\); в) \(y=\dfrac{1}{\cos x-1}\); г) \(y=\sqrt{ g x+\ctg x}\).

а) Знаменатель должен быть отличен от нуля: \(1-\sin x\ne0\), то есть \(\sin x\ne1\). Поэтому исключаем точки \(x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Область определения: \(x\in\mathbb R\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\mid k\in\mathbb Z\right\}\).

б) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. По формуле разности квадратов синуса и косинуса:

\(\sin^2\dfrac{x}{2}-\cos^2\dfrac{x}{2}=-\cos x\), поэтому требуется \(\cos x\le0\).

Область определения: \(x\in\left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k\right]\), \(k\in\mathbb Z\).

в) Знаменатель не должен обращаться в ноль: \(\cos x-1\ne0\), то есть \(\cos x\ne1\). Исключаем \(x=2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Область определения: \(x\in\mathbb R\setminus\{2\pi k\mid k\in\mathbb Z\}\).

г) Тангенс и котангенс должны быть определены, а подкоренное выражение — неотрицательно. Необходимо \(\sin x\ne0\) и \(\cos x\ne0\). Кроме того,

\( g x+\ctg x=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\dfrac{1}{\sin x\cos x}\).

При ненулевых \(\sin x\) и \(\cos x\) это выражение неотрицательно, когда \(\sin x\cos x>0\), то есть в первой и третьей четвертях.

Область определения: \(x\in(2\pi k,\dfrac{\pi}{2}+2\pi k)\cup(\pi+2\pi k,\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k)\), \(k\in\mathbb Z\).