110. Площадь треугольника ABC равна 24 см², ∠A = 55°, точки H, M и E — середины сторон. Найдите: а) ∠HME; б) S_AHME; в) S_MEH.

Так как H, M и E — середины сторон AB, BC и AC соответственно, отрезки HM, ME и EH — средние линии треугольника ABC.

По свойству средней линии HM ∥ AC, а ME ∥ AB. Поэтому четырёхугольник AHME — параллелограмм: AH ∥ ME и AE ∥ HM. Угол HME равен углу между прямыми, параллельными AB и AC, то есть углу A.

а) ∠HME = ∠A = 55°.

Параллелограмм AHME состоит из треугольников AHE и HME. Треугольник HME — средний треугольник ABC, поэтому его площадь составляет четверть площади ABC: 24 : 4 = 6 см². Треугольник AHE равен ему по площади, так как диагональ HE делит параллелограмм на два равновеликих треугольника.

б) S_AHME = 6 + 6 = 12 см².

в) S_MEH = S_HME = 6 см².

Ответ: а) 55°; б) 12 см²; в) 6 см².