110. Упростите выражение: 1) $\frac{a^2+1}{a^2-2a+1}+\frac{a+1}{a-1}$; 2) $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a-b}{a+b}$; 3) $\frac{c+7}{c-7}+\frac{28c}{49-c^2}$; 4) $\frac{5a+3}{2a^2+6a}+\frac{6-3a}{a^2-9}$; 5) $\frac{a}{a^2-4a+4}-\frac{a+4}{a^2-4}$; 6) $\frac{2p}{p-5}-\frac{5}{p+5}+\frac{2p^2}{25-p^2}$; 7) $\frac{1}{y}-\frac{y+8}{16-y^2}-\frac{2}{y-4}$; 8) $\frac{2b-1}{4b+2}+\frac{4b}{4b^2-1}+\frac{2b+1}{3-6b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 110. Упростите выражение: 1) $\frac{a^2+1}{a^2-2a+1}+\frac{a+1}{a-1}$; 2) $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a-b}{a+b}$; 3)…$ Фото задания

110. Упростите выражение: 1) $\frac{a^2+1}{a^2-2a+1}+\frac{a+1}{a-1}$; 2) $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a-b}{a+b}$; 3) $\frac{c+7}{c-7}+\frac{28c}{49-c^2}$; 4) $\frac{5a+3}{2a^2+6a}+\frac{6-3a}{a^2-9}$; 5) $\frac{a}{a^2-4a+4}-\frac{a+4}{a^2-4}$; 6) $\frac{2p}{p-5}-\frac{5}{p+5}+\frac{2p^2}{25-p^2}$; 7) $\frac{1}{y}-\frac{y+8}{16-y^2}-\frac{2}{y-4}$; 8) $\frac{2b-1}{4b+2}+\frac{4b}{4b^2-1}+\frac{2b+1}{3-6b}$.

Accepted Answer

Так как $a^2-2a+1=(a-1)^2$, получаем:
$\frac{a^2+1}{(a-1)^2}+\frac{a+1}{a-1}=\frac{a^2+1+(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}=\frac{2a^2}{(a-1)^2}$.
Используем $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a-b}{a+b}=\frac{a^2+b^2-(a-b)^2}{a^2-b^2}=\frac{2ab}{a^2-b^2}$.
Так как $49-c^2=-(c-7)(c+7)$, имеем:
$\frac{c+7}{c-7}+\frac{28c}{49-c^2}=\frac{(c+7)^2-28c}{(c-7)(c+7)}=\frac{(c-7)^2}{(c-7)(c+7)}=\frac{c-7}{c+7}$.
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{5a+3}{2a(a+3)}+\frac{6-3a}{(a-3)(a+3)}=\frac{(5a+3)(a-3)+2a(6-3a)}{2a(a-3)(a+3)}=\frac{-a^2-9}{2a(a^2-9)}$.
Так как $a^2-4=(a-2)(a+2)$, общий знаменатель равен $(a-2)^2(a+2)$:
$\frac{a}{(a-2)^2}-\frac{a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{a(a+2)-(a+4)(a-2)}{(a-2)^2(a+2)}=\frac{8}{(a-2)^2(a+2)}$.
Так как $25-p^2=-(p-5)(p+5)$, получаем:
$\frac{2p}{p-5}-\frac{5}{p+5}-\frac{2p^2}{(p-5)(p+5)}=\frac{2p(p+5)-5(p-5)-2p^2}{(p-5)(p+5)}=\frac{5}{p-5}$.
Так как $16-y^2=-(y-4)(y+4)$, имеем:
$\frac{1}{y}+\frac{y+8}{(y-4)(y+4)}-\frac{2}{y-4}=\frac{y^2-16+y(y+8)-2y(y+4)}{y(y-4)(y+4)}=\frac{-16}{y(y^2-16)}$.
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{2b-1}{2(2b+1)}+\frac{4b}{(2b-1)(2b+1)}-\frac{2b+1}{3(2b-1)}=\frac{(2b+1)^2}{6(2b-1)(2b+1)}=\frac{2b+1}{6(2b-1)}$.

Ответ: 1) $\frac{2a^2}{(a-1)^2}$; 2) $\frac{2ab}{a^2-b^2}$; 3) $\frac{c-7}{c+7}$; 4) $-\frac{a^2+9}{2a(a^2-9)}$; 5) $\frac{8}{(a-2)^2(a+2)}$; 6) $\frac{5}{p-5}$; 7) $-\frac{16}{y(y^2-16)}$; 8) $\frac{2b+1}{6(2b-1)}$.