1100. Решите систему уравнений:

Решение:

Решим каждую систему уравнений отдельно.

а)

Система:

\( \begin{cases} -4x + 3y = 12 \\ 20x - 7y = -20 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 5:

\( \begin{cases} -20x + 15y = 60 \\ 20x - 7y = -20 \end{cases} \)

Сложим уравнения:

\( 8y = 40 \implies y = 5 \)

Подставим \( y = 5 \) в первое уравнение:

\( -4x + 3(5) = 12 \implies -4x + 15 = 12 \implies -4x = -3 \implies x = \frac{3}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{3}{4}, y = 5 \).

б)

Система:

\( \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ 15x - 3y = -3 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3:

\( \begin{cases} 15x - 6y = 3 \\ 15x - 3y = -3 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( -3y = 6 \implies y = -2 \)

Подставим \( y = -2 \) в первое уравнение:

\( 5x - 2(-2) = 1 \implies 5x + 4 = 1 \implies 5x = -3 \implies x = -\frac{3}{5} \)

Ответ: \( x = -\frac{3}{5}, y = -2 \).

в)

Система:

\( \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ 20x - 7y = 5 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на 2:

\( \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ 40x - 14y = 10 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( 17y = 0 \implies y = 0 \)

Подставим \( y = 0 \) в первое уравнение:

\( 40x + 3(0) = 10 \implies 40x = 10 \implies x = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{4}, y = 0 \).

г)

Система:

\( \begin{cases} 9a + 14b = 4 \\ 33a + 42b = 10 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 7:

\( \begin{cases} 63a + 98b = 28 \\ 33a + 42b = 10 \end{cases} \)

Умножим второе уравнение на \( \frac{7}{3} \):

\( \begin{cases} 63a + 98b = 28 \\ 77a + 98b = \frac{70}{3} \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( 14a = \frac{70}{3} - 28 = \frac{70 - 84}{3} = -\frac{14}{3} \implies a = -\frac{1}{3} \)

Подставим \( a = -\frac{1}{3} \) в первое уравнение:

\( 9(-\frac{1}{3}) + 14b = 4 \implies -3 + 14b = 4 \implies 14b = 7 \implies b = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( a = -\frac{1}{3}, b = \frac{1}{2} \).

д)

Система:

\( \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 21y + 15x = 0.5 \end{cases} \)

Перепишем второе уравнение:

\( \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 15x + 21y = 0.5 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3, второе на 2:

\( \begin{cases} 30x - 27y = 24 \\ 30x + 42y = 1 \end{cases} \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( 69y = -23 \implies y = -\frac{23}{69} = -\frac{1}{3} \)

Подставим \( y = -\frac{1}{3} \) в первое уравнение:

\( 10x - 9(-\frac{1}{3}) = 8 \implies 10x + 3 = 8 \implies 10x = 5 \implies x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{3} \).

е)

Система:

\( \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 4 = 18y \end{cases} \)

Перепишем второе уравнение:

\( \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 18y = 4 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 3, второе на 2:

\( \begin{cases} 39x - 36y = 42 \\ 22x - 36y = 8 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( 17x = 34 \implies x = 2 \)

Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение:

\( 13(2) - 12y = 14 \implies 26 - 12y = 14 \implies -12y = -12 \implies y = 1 \)

Ответ: \( x = 2, y = 1 \).

ё)

Система:

\( \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 5z = -4y - 11 \end{cases} \)

Перепишем второе уравнение:

\( \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 4y + 5z = -11 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 5, второе на 8:

\( \begin{cases} 45y + 40z = -10 \\ 32y + 40z = -88 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( 13y = 78 \implies y = 6 \)

Подставим \( y = 6 \) в первое уравнение:

\( 9(6) + 8z = -2 \implies 54 + 8z = -2 \implies 8z = -56 \implies z = -7 \)

Ответ: \( y = 6, z = -7 \).