111. а) Докажите, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. б) Найдите периметр этого параллелограмма, если диагонали четырёхугольника равны 16 см и 12 см. в) Найдите площадь параллелограмма, если площадь описанного четырёхугольника равна 140 см².

а) Доказательство:
Пусть дан четырёхугольник ABCD, M, P, T - середины сторон. Отрезок HM - средняя линия треугольника ABC, значит HM || AC. Аналогично в треугольнике ADC PT || AC. Следовательно, HM || PT. Аналогично доказывается, что HT || MP. Следовательно, четырёхугольник HMPT - параллелограмм.

б) Периметр параллелограмма, образованного серединами сторон четырёхугольника, равен полусумме диагоналей исходного четырёхугольника. P = 16 + 12 = 28 см.

в) Площадь параллелограмма, образованного серединами сторон четырёхугольника, равна половине площади исходного четырёхугольника. S = 140/4 = 35 см².

Ответ: б) 28 см; в) 35 см².