111. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть P, M, N и K — середины последовательных сторон ромба ABCD. По теореме о средней линии треугольника:

• PM ∥ AC и PM = AC / 2;
• MN ∥ BD и MN = BD / 2;
• NK ∥ AC и NK = AC / 2;
• KP ∥ BD и KP = BD / 2.

Следовательно, противоположные стороны PMNK попарно параллельны, то есть PMNK — параллелограмм. Диагонали AC и BD ромба перпендикулярны, поэтому соседние стороны этого параллелограмма, параллельные AC и BD, тоже перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Значит, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.