111. Докажите тождество: а) \(\left(\frac{a+1}{a^2+1-2a}+\frac{1}{a-1}\right)\cdot\frac{a-1}{a}-\frac{2}{a-1}=0\); б) \(\left(\frac{1+x}{x^2-xy}-\frac{1-y}{y^2-xy}\right)\cdot\frac{x^2y-y^2x}{x+y}=1\); в) \(3a\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{a^3-c^3}\cdot\frac{a^2+c^2+ac}{a+c}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}=3\).

а) Область допустимых значений: \(a\ne 0\), \(a\ne 1\).

Так как \(a^2+1-2a=(a-1)^2\), получаем:

\[\left(\frac{a+1}{(a-1)^2}+\frac{1}{a-1}\right)\cdot\frac{a-1}{a}-\frac{2}{a-1}=\left(\frac{a+1+a-1}{(a-1)^2}\right)\cdot\frac{a-1}{a}-\frac{2}{a-1}\]

\[=\frac{2a}{(a-1)^2}\cdot\frac{a-1}{a}-\frac{2}{a-1}=\frac{2}{a-1}-\frac{2}{a-1}=0.\]

Тождество доказано.

б) Область допустимых значений: \(x\ne 0\), \(y\ne 0\), \(x\ne y\), \(x\ne -y\).

Разложим выражения на множители: \(x^2-xy=x(x-y)\), \(y^2-xy=-y(x-y)\), \(x^2y-y^2x=xy(x-y)\).

Тогда:

\[\frac{1+x}{x(x-y)}-\frac{1-y}{-y(x-y)}=\frac{1+x}{x(x-y)}+\frac{1-y}{y(x-y)}\]

\[=\frac{y(1+x)+x(1-y)}{xy(x-y)}=\frac{x+y}{xy(x-y)}.\]

Следовательно,

\[\left(\frac{x+y}{xy(x-y)}\right)\cdot\frac{xy(x-y)}{x+y}=1.\]

Тождество доказано.

в) Область допустимых значений: \(a\ne c\), \(a\ne -c\).

Используем разложение разности кубов:

\[a^3-c^3=(a-c)(a^2+ac+c^2).\]

Поэтому:

\[\frac{c}{a^3-c^3}\cdot\frac{a^2+c^2+ac}{a+c}=\frac{c}{(a-c)(a+c)}=\frac{c}{a^2-c^2}.\]

Подставим это в исходное выражение:

\[3a\left(\frac{1}{a-c}-\frac{c}{a^2-c^2}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}\]

\[=3a\left(\frac{a+c-c}{(a-c)(a+c)}\right)-\frac{3c^2}{a^2-c^2}=3a\cdot\frac{a}{a^2-c^2}-\frac{3c^2}{a^2-c^2}\]

\[=\frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2}=\frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2}=3.\]

Тождество доказано.