111. Изобразите схематически графики функций y = kx, где k < 0, и y = kx, где k > 0. Запишите свойства функции в каждом случае. 112. Постройте график функции и опишите её свойства: а) y = −3x + 1; б) y = 5 + 2x; в) y = −3/x; г) y = −x²; д) y = −x²; е) y = −x³.

В пункте 112 графики функций в)–е) описаны на всей области определения. Пункты г) и д) на изображении одинаковы.

111. Если k — постоянная, отличная от нуля, график функции y = kx — прямая через начало координат.

• При k > 0 прямая возрастает; при увеличении k она становится круче.
• При k < 0 прямая убывает; при увеличении |k| она становится круче.

В обоих случаях область определения и множество значений — все действительные числа; функция непрерывна, нечётна, проходит через (0; 0). Единственный нуль — x = 0. При k > 0 функция отрицательна при x < 0 и положительна при x > 0; при k < 0 — наоборот.

Графики для 111:

112а) y = −3x + 1. Это линейная функция с угловым коэффициентом −3, поэтому она убывает. Для построения достаточно двух точек: при x = 0 получаем y = 1, при x = 1 — y = −2. График — прямая через (0; 1) и (1; −2). Область определения и множество значений: ℝ. Нуль: −3x + 1 = 0, значит x = 1/3. Функция положительна при x < 1/3 и отрицательна при x > 1/3.

112б) y = 5 + 2x. Это та же функция, что y = 2x + 5; угловой коэффициент положителен, поэтому функция возрастает. Для построения: (0; 5) и (−1; 3). График — прямая через эти точки. Область определения и множество значений: ℝ. Нуль: 5 + 2x = 0, откуда x = −5/2. Функция отрицательна при x < −5/2 и положительна при x > −5/2.

112в) y = −3/x. Область определения: ℝ без нуля. График — гипербола с ветвями во II и IV четвертях; для построения подходят точки (−1; 3), (−3; 1), (1; −3), (3; −1). Асимптоты: x = 0 и y = 0. Множество значений — ℝ без нуля. Функция нечётная, возрастает на (−∞; 0) и (0; +∞), нулей не имеет; при x < 0 значение положительно, при x > 0 — отрицательно.

112г) и 112д) y = −x². Это парабола с вершиной (0; 0), ветви направлены вниз; для построения подходят точки (−2; −4), (−1; −1), (0; 0), (1; −1), (2; −4). Область определения — ℝ, множество значений — (−∞; 0]. Функция чётная; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞). Наибольшее значение равно 0 при x = 0; нуль единственный — 0. Функция отрицательна при x ≠ 0.

112е) y = −x³. Для построения подходят точки (−2; 8), (−1; 1), (0; 0), (1; −1), (2; −8). Область определения и множество значений — ℝ. Функция нечётная, строго убывает на ℝ; единственный нуль — 0. Она положительна при x < 0 и отрицательна при x > 0.