1115 В треугольнике ABC известно, что AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и S₍ABC₎.

Сначала найдём третий угол:

\(\angle B=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ\).

По теореме синусов:

\[\frac{AB}{\sin 60^\circ}=\frac{AC}{\sin 45^\circ}.\]

Подставим известные значения:

\[AB=12\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=12\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=6\sqrt6\text{ см}.\]

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними:

\[S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot AB\cdot\sin\angle A.\]

\[S_{ABC}=\frac12\cdot12\cdot6\sqrt6\cdot\sin75^\circ.\]

Так как \(\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\), получаем:

\[S_{ABC}=36\sqrt6\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=54+18\sqrt3\text{ см}^2.\]

Ответ: \(AB=6\sqrt6\) см; \(S_{ABC}=54+18\sqrt3\) см².