1115. В треугольнике ABC известно, что AC = 12 см, ∠C = 60°. Найдите AB и S_{ABC}.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠B = 180° − 75° − 60° = 45°.

По теореме синусов:

\(\dfrac{AB}{\sin 60^\circ}=\dfrac{AC}{\sin 45^\circ}\), откуда \(AB=12\cdot\dfrac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}=6\sqrt{6}\) см.

Площадь найдём по двум сторонам и углу между ними. Сначала по теореме синусов \(BC=12\cdot\dfrac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}=6(\sqrt{3}+1)\) см. Тогда

\(S_{ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot BC\cdot\sin 60^\circ=36+12\sqrt{3}\) см².

Ответ: \(AB=6\sqrt{6}\) см; \(S_{ABC}=36+12\sqrt{3}\) см².