1116 Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника со сторонами а и b; б) прямоугольного треугольника с катетом а и противолежащим углом а; в) равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h, проведённой к основанию.

Решение:

а) Площадь круга, описанного около прямоугольника:

Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Диагональ \( d = \sqrt{a^2 + b^2} \).

Радиус описанной окружности \( R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \).

Площадь круга: \( S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4} \).

б) Площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника:

Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности. Если катет равен \( a \), а противолежащий угол \( \alpha \), то гипотенуза \( c = \frac{a}{\sin \alpha} \).

Радиус описанной окружности \( R = \frac{c}{2} = \frac{a}{2 \sin \alpha} \).

Площадь круга: \( S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{2 \sin \alpha}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \alpha} \).

в) Площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника:

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника вычисляется по формуле \( R = \frac{abc}{4S_{тр}} \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника, \( S_{тр} \) — его площадь.

Основание равно \( a \), высота \( h \). Боковые стороны \( b = c = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2} \).

Площадь треугольника \( S_{тр} = \frac{1}{2} a h \).

Радиус описанной окружности: \( R = \frac{a \cdot \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2} \cdot \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2}}{4 \cdot \frac{1}{2} a h} = \frac{a \cdot (\frac{a^2}{4} + h^2)}{2 a h} = \frac{\frac{a^2}{4} + h^2}{2h} = \frac{a^2 + 4h^2}{8h} \).

Площадь круга: \( S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a^2 + 4h^2}{8h}\right)^2 = \frac{\pi (a^2 + 4h^2)^2}{64h^2} \).