112. Решите неравенство: а) $25x^2+6x<0$; б) $x^2-169>0$; в) $4x^2-225<0$; г) $y^2<10y+24$; д) $15y^2+30>22y+7$; е) $3y^2-7<26y+70$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 112. Решите неравенство: а) $25x^2+6x<0$; б) $x^2-169>0$; в) $4x^2-225<0$; г) $y^2<10y+24$; д) $15y^2+30>22y+7$; е)…$ Фото задания

112. Решите неравенство: а) $25x^2+6x<0$; б) $x^2-169>0$; в) $4x^2-225<0$; г) $y^2<10y+24$; д) $15y^2+30>22y+7$; е) $3y^2-7<26y+70$.

Accepted Answer

а) Разложим левую часть на множители: $25x^2+6x=x(25x+6)$. Нули множителей: $x=0$ и $x=-\frac{6}{25}$. Поскольку произведение отрицательно между корнями, получаем $x\in\left(-\frac{6}{25},0\right)$.

б) $x^2-169=(x-13)(x+13)$. Парабола направлена вверх, поэтому выражение положительно вне корней $-13$ и $13$: $x\in(-\infty,-13)\cup(13,+\infty)$.

в) $4x^2-225<0$, значит $4x^2<225$, откуда $x^2<\frac{225}{4}$. Следовательно, $|x|<\frac{15}{2}$, то есть $x\in\left(-\frac{15}{2},\frac{15}{2}\right)$.

г) Перенесём всё в левую часть: $y^2-10y-24<0$. Разложим на множители: $(y+2)(y-12)<0$. Произведение отрицательно между корнями, поэтому $y\in(-2,12)$.

д) Перенесём всё в левую часть: $15y^2-22y+23>0$. Дискриминант равен $D=(-22)^2-4\cdot15\cdot23=484-1380=-896<0$. При положительном старшем коэффициенте квадратный трёхчлен всегда положителен, значит неравенство верно при всех действительных $y$.

е) Перенесём всё в левую часть: $3y^2-26y-77<0$. Корни: $y=\frac{26\pm\sqrt{(-26)^2-4\cdot3\cdot(-77)}}{6}=\frac{26\pm40}{6}$, то есть $-\frac{7}{3}$ и $11$. Парабола направлена вверх, поэтому она отрицательна между корнями.

Ответ: а) $x\in\left(-\frac{6}{25},0\right)$; б) $x\in(-\infty,-13)\cup(13,+\infty)$; в) $x\in\left(-\frac{15}{2},\frac{15}{2}\right)$; г) $y\in(-2,12)$; д) $y\in\mathbb{R}$; е) $y\in\left(-\frac{7}{3},11\right)$.

112. Решите неравенство: а) \(25x^2+6x<0\); б) \(x^2-169>0\); в) \(4x^2-225<0\); г) \(y^2<10y+24\); д) \(15y^2+30>22y+7\); е) \(3y^2-7<26y+70\).

Ответ: