1122. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Докажем, что \(\dfrac{BC}{\sin A}=2R\).

1. Проведём диаметр \(BA_1\) описанной окружности.
2. Рассмотрим треугольник \(A_1BC\). Угол \(C\) этого треугольника прямой, так как он опирается на диаметр \(BA_1\) (теорема Фалеса).
3. В прямоугольном треугольнике \(A_1BC\) по определению синуса:
   \[\sin A_1=\frac{BC}{BA_1}.\]
4. Следовательно,
   \[BC=BA_1\sin A_1.\]
5. Если точка \(A_1\) лежит на дуге \(BAC\), то \(\angle A_1=\angle A\). Если же точка \(A_1\) лежит на дуге \(BDC\), то \(\angle A_1=180^\circ-\angle A\). В обоих случаях \(\sin A_1=\sin A\).
6. Так как \(BA_1\) — диаметр окружности, то \(BA_1=2R\). Поэтому
   \[BC=2R\sin A.\]
7. Делим обе части равенства на \(\sin A\):
   \[\frac{BC}{\sin A}=2R.\]

Аналогично для любой стороны треугольника: сторона треугольника, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности.

Ответ: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\).