1129. Постройте в одной системе координат графики функций y = √x и y = x. а) Укажите координаты их общих точек. б) При каких значениях х график функции y = √x расположен выше прямой y = x и при каких значениях х он расположен ниже этой прямой?

Привет! Давай вместе разберемся с этим заданием по построению графиков. Это несложно, если идти шаг за шагом.

Шаг 1: Построение графиков

Нам нужно построить два графика в одной системе координат:

• Первая функция: y = √ x. Это график квадратного корня. Помни, что он существует только для неотрицательных значений x (то есть x ≥ 0).
• Вторая функция: y = x. Это обычная прямая, проходящая через начало координат (0,0) под углом 45 градусов.

Давай найдем несколько точек для построения:

Для y = √ x:

• Если x = 0, то y = √ 0 = 0. Точка (0, 0).
• Если x = 1, то y = √ 1 = 1. Точка (1, 1).
• Если x = 4, то y = √ 4 = 2. Точка (4, 2).
• Если x = 9, то y = √ 9 = 3. Точка (9, 3).

Для y = x:

• Если x = 0, то y = 0. Точка (0, 0).
• Если x = 1, то y = 1. Точка (1, 1).
• Если x = 4, то y = 4. Точка (4, 4).
• Если x = 9, то y = 9. Точка (9, 9).

Теперь представь или нарисуй эти точки на координатной плоскости и соедини их.

а) Общие точки

Чтобы найти общие точки, нам нужно приравнять правые части уравнений:

• √ x = x

Теперь решим это уравнение:

1. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(√ x)^2 = x^2
x = x^2
2. Перенесем все в одну сторону:
x^2 - x = 0
3. Вынесем x за скобки:
x(x - 1) = 0
4. Отсюда получаем два возможных значения для x:
x = 0 или x - 1 = 0 → x = 1

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив x в любое из исходных уравнений (например, в y = x):

• Если x = 0, то y = 0. Первая общая точка: (0, 0).
• Если x = 1, то y = 1. Вторая общая точка: (1, 1).

Так что, координаты общих точек: (0; 0) и (1; 1).

б) Сравнение графиков

Чтобы понять, где график y = √ x расположен выше или ниже прямой y = x, нужно сравнить значения функций для разных x.

Мы уже нашли, что графики пересекаются в точках (0, 0) и (1, 1). Это значит, что интервал между этими точками — ключевой.

Рассмотрим значения x:

• Если 0 < x < 1 (например, x = 0.25):
y = √ 0.25 = 0.5
y = x = 0.25
Видим, что 0.5 > 0.25. Значит, в этом интервале график y = √ x расположен выше прямой y = x.
• Если x > 1 (например, x = 4):
y = √ 4 = 2
y = x = 4
Видим, что 2 < 4. Значит, в этом интервале график y = √ x расположен ниже прямой y = x.
• В точках x = 0 и x = 1 графики совпадают.

Итог:

• График y = √ x расположен выше прямой y = x при 0 < x < 1.
• График y = √ x расположен ниже прямой y = x при x > 1.

Надеюсь, теперь все стало понятно! Если что, спрашивай еще.