113. Используя график функции \(y=x^3\), решите уравнение: а) \(x^3=x+1\); б) \(x^3=2x\); в) \(x^3=2x+1\).

а) Перенесём все слагаемые в левую часть: \(x^3-x-1=0\). Графически уравнение имеет один действительный корень: \(x\approx1.325\).

б) \(x^3=2x\).

Разложим на множители:

\(x^3-2x=0\),
\(x(x^2-2)=0\).

Отсюда \(x=0\) или \(x^2=2\), значит \(x=\pm\sqrt2\).

в) \(x^3=2x+1\).

Перенесём всё в левую часть:

\(x^3-2x-1=0\).

Разложим многочлен на множители:

\(x^3-2x-1=(x+1)(x^2-x-1)\).

Тогда \(x+1=0\) или \(x^2-x-1=0\).

Получаем:

\(x=-1\),
\(x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\),
\(x=\dfrac{1-\\sqrt5}{2}\).

Ответ: а) \(x\approx1.325\); б) \(x=-\sqrt2,\ 0,\ \sqrt2\); в) \(x=-1,\ \dfrac{1-\sqrt5}{2},\ \dfrac{1+\sqrt5}{2}\).