113. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин B и C, соответственно равны h_b и h_c; б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины B, равна h.

а) Обозначим стороны треугольника стандартно: \(b=AC\), \(c=AB\). По формулам высот:

\[h_b=c\sin\alpha,\qquad h_c=b\sin\alpha.\]

Отсюда:

\[b=\frac{h_c}{\sin\alpha},\qquad c=\frac{h_b}{\sin\alpha}.\]

Площадь треугольника:

\[S=\frac12bc\sin\alpha=\frac12\cdot\frac{h_c}{\sin\alpha}\cdot\frac{h_b}{\sin\alpha}\cdot\sin\alpha.\]

Следовательно, \(\displaystyle S=\frac{h_bh_c}{2\sin\alpha}\).

б) Пусть \(C=180^\circ-\alpha-\beta\). Высота, проведённая из вершины \(B\), равна:

\[h=c\sin\alpha,\qquad c=\frac{h}{\sin\alpha}.\]

По теореме синусов:

\[\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin C},\qquad b=\frac{h\sin\beta}{\sin\alpha\sin C}.\]

Тогда площадь:

\[S=\frac12bh=\frac12\cdot\frac{h\sin\beta}{\sin\alpha\sin C}\cdot h.\]

Так как \(C=180^\circ-\alpha-\beta\), а \(\sin C=\sin(\alpha+\beta)\), получаем:

Ответ: а) \(\displaystyle S=\frac{h_bh_c}{2\sin\alpha}\); б) \(\displaystyle S=\frac{h^2\sin\beta}{2\sin\alpha\sin(\alpha+\beta)}\).